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                    網格畫得越細,有限元分析結果就越精確?

                    有限元: 2024-04-24 14:19:41 閱讀數: 763 分享到:

                    有限元分析是一種廣泛應用的數值方法,用于求解各種工程和科學問題中的微分方程。在有限元分析中,網格的劃分是一個關鍵步驟,因為它直接影響到計算結果的精度和計算效率。那么,是否網格畫得越細,分析結果就越精確呢?

                     網格

                    我們要明確一點,網格的細化確實可以在一定程度上提高分析的精度。當網格足夠細時,它能夠更好地捕捉到問題域中的細節和變化,從而得到更準確的解。這是因為在有限元分析中,我們實際上是將連續的問題域離散化,用一系列的單元來近似表示。如果網格太粗,那么這些單元可能無法準確地描述問題域中的復雜變化,從而導致計算結果的誤差。

                     

                    然而,網格的細化并不是無限制的。當網格細化到一定程度后,繼續增加網格數量可能不會顯著提高分析的精度,甚至可能導致計算效率的降低。這是因為有限元分析中的誤差來源不僅僅是網格的離散化,還包括其他因素,如舍入誤差、迭代誤差等。此外,當網格數量過多時,計算量會顯著增加,導致計算時間變長,甚至可能超出計算機的內存限制。

                     

                    很多時候,提高單元數量對于計算精度的提高,遠遠比不過選用更好更合理的單元類型。對于不同的求算對象,所需要的單元數量也不相同。一般來說,求算應力需要比求算位移更多的單元,而求算剪應力需要比正應力更多的單元。

                     

                    舉一個常見小例子,平面應力問題,計算一根懸臂梁的變形和應力:

                    懸臂梁的寬度為1,彈性模量30000,泊松比0.3,自由端承受豎向荷載100。求解A點的豎向位移、B點的正應力、C點的剪應力。

                     

                    分別選用不同類型的四種單元計算,包括三節點三角形 CSTG、六節點三角形 LST、四節點四邊形 IPLQ、八節點四邊形 IPQQ。

                     

                    首先計算位移和應力的理論解:

                     

                     

                    A 點的豎向位移為0.895,B 點的正應力為90,C 點的剪應力為7.5。

                     

                    然后分別用不同數量的四種單元進行比較計算,所用軟件為 GT STRUDL,單元名稱按照 GT STRUDL 的命名,計算結果是這樣的:

                     

                     

                    隨著單元數量的增多,位移、正應力和剪應力結果都趨近于理論解。

                     

                    對于不同的單元類型,趨近理論解的速度完全不同。同樣是32個單元,CSTG 的位移結果是0.5072,正應力是33.11,與真實解 0.895 和 90 相差甚遠。而32個單元的 LST 結果為0.8978和88.68,已經很接近于理論解 0.895 和 90。

                     

                    同樣是64個單元,IPLQ 的結果為 0.8715 、89.52,而 IPQQ 的結果則達到了 0.8999、90.01,可以說正應力結果已經非常非常接近理論解。

                     

                    如果比較一下四邊形單元的結果和三角形單元的結果,差異更加明顯。對于位移結果來說,2000個CSTG單元的精度也比不上4個IPQQ單元的精度。

                     

                    如果橫坐標為單元數量,縱坐標為計算結果,繪制一張收斂圖像的話,對于位移來說是這樣的:

                     


                    對于這四種單元類型,要想達到類似的可以接受的精度水平,需要的單元數量完全不同。

                     

                    根據上面的分析,想要得到精度可以接受的計算結果,CSTG需要2000多個單元,而IPQQ僅需要64個。

                     

                    那么結論就是,提高單元數量的確會提高計算精度,但前提是單元類型合理高效。對于提高精度來說,更合理的方法是選用更好的單元,而不是盲目的提高單元數量。


                    除了網格的劃分外,還有其他一些因素也會影響有限元分析的精度。例如,所選用的有限元模型、邊界條件的處理方式、材料參數的準確性等都會對計算結果產生影響。因此,在進行有限元分析時,需要綜合考慮這些因素,以確保得到準確可靠的結果。

                     

                    所以在選擇有限元分析公司的時候,也需要注意甄別,找有經驗、有技術背景的公司,才能在有限元分析結果上更精準,以避免時間的浪費及其他問題的發生。

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